平面向量所有的公式

更新:2019-07-06 07:18:39 应届教育网

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平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量,物理学中也称作矢量,与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示,也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。以下是整理出来的平面向量的公式

 1、向量的加法 

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 
AB+BC=AC。 
a+b=(x+x',y+y')。 
a+0=0+a=a。 
向量加法的运算律: 
交换律:a+b=b+a; 
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 
2、向量的减法 
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 
AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减” 
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 
3、数乘向量 
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。 
当λ>0时,λa与a同方向; 
当λ<0时,λa与a反方向; 
当λ=0时,λa=0,方向任意。 
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。 
注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。 
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 
当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 
当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。 
数与向量的乘法满足下面的运算律 
结合律:(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。 
向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 
数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb. 
数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。 
4、向量的的数量积
定义:已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.
向量的数量积的坐标表示:a•b=x•x'+y•y'.
向量的数量积的运算律
a•b=b•a(交换律);
(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);
(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);
向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a•b=0.
|a•b|≤|a|•|b|.
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即:(a•b)•c≠a•(b•c);例如:(a•b)^2≠a^2•b^2.
2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c.
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
5、向量的向量积
定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.
向量的向量积性质:
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.
a×a=0.
a‖b〈=〉a×b=0.
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的. 
6、向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.
7、定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

8、三点共线定理 
若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 
三角形重心判断式 
在△ABC中,若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心 
[编辑本段]向量共线的重要条件 
若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。 
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。 
零向量0平行于任何向量。 
[编辑本段]向量垂直的充要条件 
a⊥b的充要条件是a•b=0。 
a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。 
零向量0垂直于任何向量.

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